SHU高数校赛中一道板题

写作背景

• 在2022年9月的SHU校赛中，最后一题是一道极为熟悉的题，为什么说极为熟悉呢？是因为这道题在历年校赛中反复出现，方法却一点没变，基本算是套题。以下写作顺序以我遇到这类题的时间前后为序。

《大学生数学竞赛教程【蒲和平】》

P109 例27
计算积分


分析 有两种做法
首先，因为

所以积分不是反常积分.
方法1

转为二重积分

因为

所以

方法2

将积分式看作以a、b这样的参数为变量的函数F

记

则

积分得

由

得

所以

即

原书的评注

(1)方法 1 的一般情况是：若积分 不易计算，则将积分转化为二次积分 作计算.

2. 方法2中用到了“含参变量积分的求导”运算.
   对此，有以下定理：
   设区域： ，函数 及偏导数 在区域D上连续，则 在 上有连续的导数，且 .

2019年上海大学数学竞赛 真题

第10题

计算积分

其中b>0,a>0.

解

因此所讨论的积分是正常积分。

方法一：

取b为参量，利用积分号下求导数的方法，有

再对b求积分，可得

利用

即有

于是有

方法二：

因为

于是

注意到

有

2022年上海大学高等数学竞赛

第13题
设s为大于1的实数，求证

我的解答
观察等式右侧，此积分无暇点，为正常积分.

（这里，所以，即第一项极限为0）

结构几乎一模一样对吧？上大出题组摸鱼石锤（？）