SHU高数校赛中一道板题

写作背景

• 在2022年9月的SHU校赛中，最后一题是一道极为熟悉的题，为什么说极为熟悉呢？是因为这道题在历年校赛中反复出现，方法却一点没变，基本算是套题。以下写作顺序以我遇到这类题的时间前后为序。

《大学生数学竞赛教程【蒲和平】》

P109 例27
计算积分 分析 有两种做法 首先，因为 所以积分不是反常积分. 方法1

转为二重积分

因为

所以

方法2

将积分式看作以a、b这样的参数为变量的函数F

记 则 积分得 F(b) = ln(1+b) + C

由 F(a) = 0 得 C =  − ln(1+a) 所以 F(b) = ln(1+b) − ln(1+a) 即

原书的评注

(1)方法 1 的一般情况是：若积分 I = ∫_a^bg(x)[f(x,β)−f(x,α)]dx 不易计算，则将积分转化为二次积分 I = ∫_α^βdy∫_a^bg(x)f_y(x,y)dx 作计算.

2. 方法2中用到了“含参变量积分的求导”运算. 对此，有以下定理： 设区域： D : [a,b] × [c,d] ，函数 f(x,y) 及偏导数 f_y(x,y) 在区域D上连续，则 I(y) = ∫_a^bf(x,y)dx 在 [c,d] 上有连续的导数，且 I′(y) = ∫_a^bf_y(x,y)dx .

2019年上海大学数学竞赛 真题

第10题

计算积分

其中b>0,a>0.

解

因此所讨论的积分是正常积分。

方法一：

取b为参量，利用积分号下求导数的方法，有

再对b求积分，可得 I(b) = arctan(b+1) + c 利用 I(a) = 0 即有 c =  − arctan(a+1) 于是有 I = I(b) − I(a) = arctan(b+1) − arctan(a+1)

方法二：

因为 ∫e^t(y+1)sin(t)dt =  − coste^t(y+1) + (y+1)∫e^t(y+1)costdt =  − coste^t(y+1) + e^t(y+1)sint − (y+1)²∫e^t(y+1)sintdt

于是

注意到

有

2022年上海大学高等数学竞赛

第13题 设s为大于1的实数，求证

我的解答 观察等式右侧，此积分无暇点，为正常积分.

 = ∫₁^+∞dx∫_{−s − 1}^−sx^ydy  = ∫_{−s − 1}^−sdy∫₁^+∞x^ydx （这里ξ ∈ [−s−1,−s]，所以ξ + 1 < 0，即第一项极限为0） Q.E.D.

结构几乎一模一样对吧？上大出题组摸鱼石锤（？）