反向柯西不等式在高数初赛中的应用

第十届数学初赛 非数学类 第三大题

设在区间[0,1]上连续，且.证明：

分析：柯西得左侧，反向柯西得右侧.
解：由柯西不等式，得

又因为

则

即

所以

由于

所以

拓展：对于右侧不等号，一般地，若在[0,1]上连续，且，则

不难看出，这是反向柯西不等式的积分形式.
反向柯西不等式：
若
，，则

证明方法类似，都是用到了端点不等式.