反向柯西不等式在高数初赛中的应用

第十届数学初赛 非数学类 第三大题

设f(x)在区间[0,1]上连续，且1 ≤ f(x) ≤ 3.证明：

分析：柯西得左侧，反向柯西得右侧. 解：由柯西不等式，得

又因为

[f(x)−1][f(x)−3] ≤ 0

则

即

所以

由于

所以

拓展：对于右侧不等号，一般地，若f(x)在[0,1]上连续，且0 < m ≤ f(x) ≤ M，则

不难看出，这是反向柯西不等式的积分形式. 反向柯西不等式： 若 0 < m₁ ≤ a_k ≤ M₁，0 < m₂ ≤ b_k ≤ M₂(1≤k≤n)，则

证明方法类似，都是用到了端点不等式.