虽然答案一眼就能看出来，但是答案的证明还是比较有趣的

[NOIP2017 提高组] 小凯的疑惑 / [蓝桥杯 2013 省] 买不到的数目

题目背景

NOIP2017 提高组 D1T1

题目描述

小凯手中有两种面值的金币，两种面值均为正整数且彼此互素。每种金币小凯都有无数个。在不找零的情况下，仅凭这两种金币，有些物品他是无法准确支付的。现在小 凯想知道在无法准确支付的物品中，最贵的价值是多少金币？注意：输入数据保证存在 小凯无法准确支付的商品。

输入格式

两个正整数 和 ，它们之间用一个空格隔开，表示小凯中金币的面值。

输出格式

一个正整数 ，表示不找零的情况下，小凯用手中的金币不能准确支付的最贵的物品的价值。

样例 #1

样例输入 #1

3 7

样例输出 #1

11

提示

【输入输出样例 1 说明】

小凯手中有面值为 和 的金币无数个，在不找零的前提下无法准确支付价值为 的物品，其中最贵的物品价值为 ，比 贵的物品都能买到，比如：

；

；

；

。

【数据范围与约定】

对于 的数据： 。

对于 的数据： 。

对于 的数据：。

解

是对称的，答案应该也是跟 对称的一个式子，先猜 ，发现不是，然后换 ，大了，发现 正好是答案

于是猜测答案是 ，打个表发现还真是，就可以交了XD

证明

原题就是要找不满足 的最大

首先 是互素的，所以 是互不同余的(遍历了模 的完系)

所以可以知道以下的数是可以表示的：

• 且
• 且
• 且
• 且
  ...
• 且
• 且

发现对于 的数，都可以表示

因为 对称，所以可以不妨

先看 这 个数，它们模 互不同余，并且模 不为 ，所以它们模 的余数一定落在 之间，所以它们模 的余数覆盖 ，所以它们都可以被表示

再往前看，即 这 个数，它们模 互不同余，但是这 个数只有 个数可以被表示，所以必然有一个数不能被表示出来，并且因为我们是从后往前找的，所以这个数是最大的，即答案就在其中

从最后一个开始看， ，而 并不在 中，所以这个数无法被表示，答案被找到了