2022年上海大学高等数学竞赛题解

突然想起来校赛AK了竟然没写题解，这就补上

一、填空题

1. 由 确定了关于 的 函数 ，则 ().

解：
两边求导

式继续求导

整理得

将 式代入 式

2. 设函数 在 上连续，并设 ，则 ().

解：

3. 设 ， ().

解：
条件可以化为

换元，设

4. 微分方程 的通解为().

解：
首先有
原式可变形为

套公式，得

5. 设函数 在 上连续，并设 ，则 在 上零点的个数至少为().

解：
根据积分中值定理，至少


同理，至少


至少


但是 式和 式的零点有可能重合为1点，所以只能判定至少有两个零点.

二、计算题

6. 若可微函数 对于任意的 满足 ， 是曲面 上的一点，且 ，求曲面在 处切平面方程.

解：
令 ，将 在 处作泰勒展开，有

而
结合二式，有




由 知
又有

设
切平面方程为

7. 已知函数 满足 ，且 ，讨论级数 的敛散性.

解：
由题意




则

8. 设正项级数 收敛，判断 的敛散性.

解：

由n元均值不等式，有

9. 设函数 满足方程 ，且由曲线 ，直线 与 轴围成的平面图形 绕 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求 .

解：
1. 时，原方程可变形为



2. 时，

旋转体体积




当且仅当 即 时取等.

10. 计算积分 ，其中 .

解：
设
则 ，有
故原积分
对于 ,设 , .
对于 ,设 .

三、证明题

11. 证明 ，其中 .

证明：



又 关于 对称，区间 也关于 对称





证毕！

12. 设函数 满足 ，且在 上连续，求证： .

证明：
取
则有




而 与 无关

即




综上， .
证毕！

13. 设 为大于1的实数，求证 .

套路题，总结见SHU高数校赛中一道板题

证明：

观察等式右侧，此积分无暇点，为正常积分.

（这里，所以，即第一项极限为0）